การวัดระยะทางบนพื้นราบ

การวัดระยะทางบนพื้นราบ

 

 เราทราบกันดีว่าระยะทางที่สั้นที่สุด ระหว่างจุดสองจุดบนพื้นราบคือความยาวของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดทั้งสองนั้น ดังนั้นการหาระยะทางระหว่างจุดสองจุดนี้ เราอาจใช้เส้นเชือกหรือลวดขึงให้ตึงระหว่างสองจุดนั้น แล้วนำไปตรวจสอบความยาวกับไม้เมตรหรือไม้ฟุต ก็จะทราบความยาวที่ต้องการ ในทางช่างเขาใช้เส้นลวดที่แบ่งสเกลความยาวแล้ววัดระยะทางได้ทันที ถ้าระยะทางยาวกว่าเส้นลวดที่วัดก็จะต้องแบ่งความยาวออกเป็นช่วงๆ วัดความยาวแต่ละช่วงแล้วนำมารวมกัน
          ในการวัดระยะทางจริงๆ ระหว่างจุดสองจุดนี้ บางครั้งเราไม่อาจจะใช้เส้นลวดขึงให้ผ่านจุดทั้งสองได้ เช่น การวัดความกว้างของแม่น้ำ หรือมีสิ่งขวางกั้นระหว่างจุดทั้งสองนั้น กรณีเช่นนี้เราต้องวัดระยะโดยอ้อม และใช้หลักวิชาคณิตศาสตร์ช่วยคำนวณระยะทางที่ต้องการออกมาอีกครั้งหนึ่ง เช่น เราทราบว่าสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งมีมุมอีกสองมุมเท่ากัน คือ เท่ากับ 45 องศา ด้านประกอบมุมฉากของสามเหลี่ยมนั้นจะยาวเท่ากันพอดี เราเรียกสามเหลี่ยมชนิดนี้ว่า  สามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว
          เราอาจใช้หลักวิชาเรขาคณิตในการคำนวณหาความสูง ชาวกรีกและชาวอียิปต์โบราณได้ใช้วิธีการนี้มานานหลายพันปีแล้ว หลักการของวิธีนี้ใช้คุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมทั้งสามเท่ากันสองรูป ย่อมมีด้านทั้งสามเป็นสัดส่วนกันและกัน  เราเรียกสามเหลี่ยมทั้งสองว่าเป็นสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน
          เมื่อวัดความสูงของต้นไม้ เช่น BC แทนความสูงของต้นไม้ วัดระยะจากโคนไม้คือ  B ไปยังจุด A จากจุด D ซึ่งอยู่ระหว่าง A และ B ใช้ไม้ที่ทราบขนาดความสูงแล้ววางให้ตั้งฉากกับพื้นดิน และเล็งจากจุด A ให้จุด A จุด  E และจุด C อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน โดยใช้คุณสมบัติของสามเหลี่ยมคล้ายจะได้ BC/DE  =AB/ADหรือความสูง  BC  =  (AB.DE) /AD
เราอาจใช้เงาของวัตถุที่เกิดจากแสงอาทิตย์วัดความสูงก็ได้ เช่น ให้ AB เป็นความยาวของเงาต้นไม้ซึ่งเกิดจากดวงอาทิตย์ ตรงจุด A ซึ่งเป็นตำแหน่งปลายของเงาต้นไม้ เอาไม้ AD ซึ่งทราบขนาดความยาวแล้วมาปักตั้งฉากกับพื้นดิน เงาของ  AD จะทอดยาวออกไปถึงจุด E วัดระยะ AB และ  AE โดยอาศัยคุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยมคล้ายจะได้  BC/AD=  BA/AEดังนั้น BC = AD.AB/AE
         วิธีการสร้างเครื่องมือวัดความสูงแบบง่ายๆ กระทำได้ดังนี้หากระดาษแข็งหรือไม้แผ่นบางๆขนาดกว้าง 10 นิ้ว ยาว 11 นิ้ว แบ่งสเกลทางด้านกว้างตั้งแต่ 0 ถึง 10 จะแบ่งสเกลของทุกหนึ่งนิ้วให้ละเอียดออกไปเป็น 10 ช่วงเล็กๆ เท่ากันทั้งหมดก็ได้ใช้ท่อนไม้ขนาดกว้าง 1 นิ้ว หนา 1 นิ้ว ยาว 10 นิ้ว ติดที่ขอบบนของกระดาษแข็งให้แน่น ส่วนของกระดาษแข็งที่อยู่ใต้ท่อนไม้จะเหลือกว้าง 10 นิ้ว ยาว 10  นิ้ว เอาด้ายถ่วงด้วยน้ำหนักพอสมควรมาผูกที่ปลายท่อนไม้ทางด้านขวามือ เมื่อวางท่อนไม้ขนานกับแนวระดับราบ เส้นด้ายจะอยู่ในตำแหน่งของเลข 0  ของสเกลข้างล่าง ติดห่วงเล็กๆ สองห่วงไว้บนท่อนไม้ให้ห่างจากกันประมาณ 9  นิ้ว ห่วงทั้งสองนี้ใช้สำหรับเล็งไปยังจุดที่ต้องการ เช่น ถ้าจะวัดความสูงของ  AB ก็ยกแผ่นไม้นี้เล็งไปยังจุด  A ซึ่งเป็นยอดสูงสุด อ่านตัวเลขที่เส้นดิ่งผ่านขอบล่างของแผ่นไม้ สมมุติว่าได้ n หน่วย วัดระยะจากจุดที่สังเกตไปยัง AB  สมมุติว่าได้  s  เมตร เอา n และ  s  คูณกันแล้วหารด้วย  10  แล้วบวกด้วยระยะที่จุดสังเกตอยู่สูงจากพื้นดิน   สมมุติว่าเท่ากับ a เมตร  ดังนั้นจะได้ความสูงของ  AB  คือ  h  จากสูตร
                           h  =  a + nxs
                                                      10
                ถ้า        a  = 1.6 เมตร  n = 3  หน่วย  s  =  30  เมตร
                จะได้ความสูง   h  = 1.6 + 3x30
                                                                     10
                                      = 10.6  เมตร

         เราอาจใช้สูตรในวิชาตรีโกณมิติหาระยะทางและความสูง โดยอาศัยด้านและมุมของรูปสามเหลี่ยม เช่น เราต้องการวัดระยะทางระหว่างจุดสองจุดบนฝั่งแม่น้ำฝั่งตรงกันข้าม  คือ  A  และ  B  เป็นจุดสองจุดบนฝั่งแม่น้ำฝั่งตรงกันข้ามที่เราต้องการวัดระยะทาง สมมุติว่าระยะทาง AB เท่ากับ x  เมตร  C และ D เป็นจุดซึ่งเราสามารถวัดระยะทางได้ s เมตร บนฝั่งซึ่งเรายืนอยู่  วัดมุม DCB  ได้มุม a วัดมุม  BCA  ได้มุม a'  วัดมุม  CDA  และ  ADB  ได้มุม  b และ  b' ตามลำดับ โดยใช้กฎเกณฑ์ในวิชาตรีโกณมิติเราสามารถแสดงได้ว่า                             AC  = a sin b / sin (a+a'+ b)             และ         BC  = a sin (b+b') / sin (a+b+b')และหาความยาว  AB  ได้จากสูตร
                               x² =  AC² + BC² - 2AB.BC cos a'

          จากตารางแสดงค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ เราก็สามารถคำนวณหาระยะทาง AB  ได้ทันที

           เราอาจจะประดิษฐ์เครื่องวัดมุมแบบง่ายๆ ได้ดังนี้ ใช้กระดาษแข็งหรือไม้อัดก็ได้มาตัดเป็นแผ่นวงกลมรัศมีประมาณ  3  นิ้ว เขียนวงกลมศูนย์กลางร่วมกันกับวงแรกใช้รัศมี 2 1/2 นิ้ว บนเส้นรอบวงกลมเล็กแบ่งออกเป็น 36  ส่วนเท่าๆ กัน แต่ละส่วนจะปิดมุมที่ศูนย์กลาง 10 องศาเท่ากัน ถ้าต้องการให้ละเอียดมากขึ้นก็ใช้ไม้บรรทัดที่มีการแบ่งมุมเป็นองศาซึ่งเรียกว่า ไม้โพรแทรกเตอร์ แบ่งสเกลบนวงกลมเล็กให้ครบ 360 องศาเลยก็ได้ ใช้เส้นลวดหรือเข็มเล็กๆ ที่สามารถเจาะรูที่ก้นได้สองอัน ใช้เข็มหมุดตรึงก้นเข็มทั้งสองไว้ตรงจุดศูนย์กลางวงกลม และให้เข็มทั้งสองสามารถหมุนไปได้รอบๆ แบบเข็มนาฬิกา เมื่อจะวัดมุมที่ใดก็เล็งจากหมุดตรงกลางให้เส้นลวดทั้งสองอยู่ในแนวที่ต้องการ ก็จะสามารถอ่านมุมระหว่างแนวทั้งสองได้ทันที

ที่มา : สุรวิทย์ กองสาสนะ.  การวัดระยะทางบนพื้นราบ.  ค้นข้อมูล 6 กุมภาพันธ์ 54 จาก http://www.kroobannok.com/625

สมการและอสมการ

 สมการและอสมการ

 สมการบางสมการอาจจะไม่มีคำตอบ เช่น ถ้าถามว่า "มีจำนวนเต็มจำนวนใดบ้างซึ่งคูณกับ 2 แล้วได้ 3" ก็ต้องตอบว่า "ไม่มีจำนวนเต็มเช่นนั้น" เราพูดได้อีกอย่างหนึ่งว่า สมการ  2x  =  3 ไม่มีคำตอบซึ่งเป็นจำนวนเต็ม
          เราทราบว่าจำนวนจริงใดๆ ก็ตามเมื่อคูณกับตัวเองแล้วย่อมไม่ได้จำนวนลบ ดังนั้น เราพูดว่า สมการ X x X  =  -1ซึ่งเขียนได้ว่า x²  = -1 ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง
          สมการบางสมการอาจมีคำตอบมากกว่าหนึ่งคำตอบ เช่น ถ้าถามว่า "จำนวนใดคูณกับตัวเองแล้วได้ 1" ก็ต้องตอบว่า "-1 และ 1" หรือพูดว่าสมการ x² = 1 มีคำตอบ  2  คำตอบ  คือ  -1 และ 1
          สมการที่มีตัวแปรเดียวและเลขชี้กำลัง*  ของตัวแปรเป็น 1 เราเรียกว่าสมการเชิงเส้น (Linear equation) ที่มีตัวแปรเดียว ดังนั้น 2x - 5 = 1, 6 + 3x = 2, 3t +      1 - 2y = 2.7, 2z - 10 = 0 ล้วนเป็นตัวอย่างของสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรเดียว

          การแก้สมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรตัวเดียว เรามีหลักการใหญ่ๆ ดังนี้ คือ
          (1) ถ้านำจำนวนๆ หนึ่งมาบวก หรือลบทั้งสองข้างของเครื่องหมาย = เราจะได้สมการ ซึ่งมีคำตอบเหมือนสมการเดิม
          (2) ถ้านำจำนวนๆ หนึ่ง ซึ่งไม่ใช่ 0 มาคูณ หรือหารทั้งสองข้างของเครื่องหมาย = เราจะได้สมการซึ่งมีคำตอบเหมือนสมการเดิม

          สมมุติว่าเราต้องการแก้สมการ 2x + 3 = 5  เราใช้หลักทั้งสองข้อดังนี้
                      2x + 3   =  5
                      2x          =  2  นำ  3  มาลบทั้งสองข้าง
                        x          =  1  นำ  2  มาหารทั้งสองข้าง
          จากหลักทั้งสองข้อ เราได้ว่าสมการทั้งสามนี้มีคำตอบเหมือนกัน ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า 1 เป็นคำตอบของสมการ 2x + 3 = 5
                  
          * เราเขียน 5 ได้ว่า 5¹ และเรียก 1 ว่า เลขชี้กำลัง             เราเขียน 5 x 5 ได้ว่า 5² และเรียกเลข 2 ว่า เลขชี้กำลัง             เราเขียน 5 x 5 x 5 ได้ว่า 5³ และเรียกเลข 3 ว่า เลขชี้กำลัง ฯลฯ
             ให้ x แทนจำนวนใด ๆ ก็ตาม
             เราเขียน X  ได้ว่า X¹ และเรียกเลข 1 ว่า เลขชี้กำลัง
             เราเขียน X x X ได้ว่า X² และเรียกเลข 2 ว่า เลขชี้กำลัง             เราเขียน X x X x X ได้ว่า X³ และเรียกเลข 3 ว่า เลขชี้กำลัง             เราเขียน X x X x X x X x X ได้ว่า X⁵ และเรียกเลข 5 ว่า เลขชี้กำลัง ฯลฯ
             เลขชี้กำลังไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเต็มบวก แต่เราจะไม่กล่าวถึงในที่นี้

          หลักข้อ (2)  ห้ามนำ O มาหารทั้งสองข้างของเครื่องหมาย = ในสมการ เพราะการหารด้วย O ไม่มีความหมาย และหลักเดียวกันนี้ห้ามนำ O มาคูณทั้งสองข้างของเครื่องหมาย  = ในสมการ เพราะสมการใหม่จะมีคำตอบต่างจากสมการเดิม  ตัวอย่างเช่น สมการ 2x = 6 มีคำตอบเพียงคำตอบเดียว ได้แก่ 3 แต่สมการ 2X x 0 = 6x0  นั้นมีจำนวนจริงทุกจำนวนเป็นคำตอบ เนื่องจากจำนวนจริงใดๆ ก็ตามคูณกับ O แล้วย่อมได้ O

          ควรสังเกตว่า การพูดกว้างๆ ว่า "ในการแก้สมการนั้น ถ้าทำอย่างไรทางซ้าย (ของเครื่องหมาย  =) แล้วให้ทำอย่างเดียวกันทางขวา (ของเครื่องหมาย  =)" นั้น ใช้ไม่ได้ เพราะสมการใหม่อาจมีคำตอบต่างจากสมการเดิมได้ เช่น สมการ x = 3 กับสมการ x² = 3² ซึ่งได้จากการ "ยกกำลังสองทั้งสองข้าง" มีคำตอบต่างกัน สมการ x = 3  มีคำตอบเพียงคำตอบเดียวคือ   3 ส่วนสมการ x² = 3² มีคำตอบ 2 คำตอบ คือ -3 กับ 3

          สมการ  x-1 = 0 กับสมการ x (x-1) = 0 ก็มีคำตอบต่างกัน สมการที่สองได้จากการคูณ x ทั้งสองข้าง (ของเครื่องหมาย =) ในสมการแรก หรือจะพูดว่าสมการแรกได้จากการหารด้วย  x ทั้งสองข้างในสมการที่สองก็ได้ สมการ x-1 = 0 มีคำตอบเพียงคำตอบเดียวคือ 1ส่วนสมการ x (x-1) = 0 มีคำตอบ 2 คำตอบ คือ 0 และ 1

          สมการอาจจะมีตัวแปรกี่ตัวแปรก็ได้ เช่น โจทย์ที่ว่า "จงหาจำนวนสองจำนวนซึ่งมีผลต่างเป็น 3" อาจจะเขียนได้ว่า "จงแก้สมการ x-y = 3" สมการ x-y = 3 เป็นสมการที่มีตัวแปร 2 ตัว สมการนี้มีคำตอบมากมาย เช่น x = 4 และ y = 1 หรือ x = 3 และ y = 0 หรือ x =    และ  y  =  -3   เป็นต้น คำตอบเหล่านี้เรานิยมเขียนในรูปคู่ลำดับว่า (4,1),  (3,0) ,  (      ) จำนวนแรกในคู่ลำดับแทนค่า x จำนวนหลังแทนค่า y  ดังนั้น (4,1) เป็นคำตอบหนึ่งๆ ของสมการ x - y = 3 แต่ (1,4) ไม่ใช่คำตอบของสมการนี้

          เนื่องจากสมการ x - y = 3 นี้ มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริงอยู่มากมาย ไม่สามารถแจกแจงให้ดูได้หมด วิธีที่จะแสดงคำตอบได้วิธีหนึ่งคือ การเขียนกราฟ

          สมการที่มีตัวแปรเดียวก็สามารถแก้ได้โดยวิธีกราฟ เช่น ถ้าต้องการแก้สมการ 2x + 3 = 5 ซึ่งมีคำตอบเหมือนสมการ 2x - 2 = 0 (นำ 5 มาลบทั้งสองข้างของเครื่องหมาย =) เราเพิ่มตัวแปร y ขึ้นมาอีกหนึ่งตัว โดยกำหนดให้ 2x -2 = y

          สมการนี้เป็นสมการที่มีตัวแปรสองตัว  คำตอบของสมการ 2x - 2 = y คือทุกจุดที่อยู่บนเส้นตรงสีแดง ค่าของ x ที่ทำให้ y เป็น 0 เป็นคำตอบของสมการ 2x-2  =0 จุดบนกราฟที่  y เป็น 0  คือจุดที่กราฟตัดแกนนอน เส้นตรงนี้ตัดแกนนอนที่จุด (1,0)
           เราจึงสรุปได้ว่า 1 เป็นคำตอบของสมการ  2x - 2  = 0
                                                          หรือสมการ  2x + 3 = 5

           สมการ x² - 2x = 3 มีคำตอบเหมือนสมการ x² - 2x - 3  = 0 เราแก้ได้โดยเขียนกราฟแสดงคำตอบของสมการ x² - 2x - 3  =  y (เส้นโค้งสีน้ำเงินในรูป) ค่าของ x ที่ทำให้ y เป็น 0 เป็นคำตอบของสมการ x² - 2x - 3 = 0 จุดบนกราฟที่ y เป็น 0 คือจุดที่กราฟตัดแกนนอนได้แก่จุด (-1,0) และ (3,0)
           เราจึงสรุปว่า -1 กับ 3 เป็นคำตอบของสมการ x² - 2x - 3 = 0 หรือ x² - 2x = 3

           ในการแก้สมการ x² - 2x + 2 = 0  เราเขียนกราฟแสดงคำตอบของสมการ x² - 2x + 2 = y จะพบว่ากราฟนั้นไม่ตัดแกนนอน แสดงว่าจุด (x,0) ไม่อยู่บนกราฟ ดังนั้น (x,0) ไม่ใช่คำตอบของสมการ  x² - 2x + 2 = y นั่นคือไม่ว่า x จะแทนจำนวนจริงใดๆ ก็ตาม  x² - 2x + 2  ไม่เท่ากับ 0 เราจึงสรุปได้ว่าสมการ x² -2x + 2 = 0 ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง

สมการเชิงเส้น

           บางทีเราพบโจทย์บางประเภท เช่น "ชาวนาคนหนึ่งเลี้ยงหมูและไก่ ถ้านับหัวของสัตว์เหล่านี้จะได้ 20 หัว ถ้านับขาจะได้ 50 ขา ถามว่าเขามีหมูและไก่อย่างละกี่ตัว"

          ถ้าให้ x แทนจำนวนหมู และ y แทนจำนวนไก่ เราจะได้สมการ 2 สมการคือ
                         x + y     = 20  (จำนวนหัว)
                       4x + 2y   = 50  (จำนวนขา)

         เราต้องการหาค่าของ x และ y ซึ่งเมื่อนำไปแทนในสมการทั้งสองแล้วจะได้ข้อความจริงทั้งคู่ ในกรณีนี้ถ้าแทน x  ด้วย 5 และแทน y ด้วย 15 ในสมการทั้งคู่ จะได้ข้อความจริง เราจึงพูดว่า (5, 15) เป็นคำตอบของ ระบบสมการ (system of equations) ข้างต้น สมการทั้งสองเป็นสมการเชิงเส้นทั้งคู่ เราจึงเรียกระบบสมการนี้ว่า ระบบสมการเชิงเส้น (system of linear equations)

         ระบบสมการเชิงเส้นมีวิธีแก้หลายวิธี แต่ในที่นี้จะกล่าวถึงการแก้ระบบสมการด้วยวิธีเขียนกราฟ

         คำตอบ (5, 15) สำหรับระบบสมการในโจทย์ปัญหาเรื่องชาวนากับสัตว์เลี้ยง หาได้จากกราฟ ดังนี้
         เขียนกราฟของสมการทั้งสองจะได้เส้นตรง 2 เส้น ทุกจุดบนเส้นตรงสีน้ำเงินเป็นคำตอบของสมการ x + y = 20 ทุกจุดบนเส้นตรงสีแดง เป็นคำตอบของสมการ 4x + 2y = 50 จุดตัดคือ (5, 15) จึงเป็นคำตอบของสมการทั้งคู่พร้อมๆ กันและเป็นคำตอบของระบบสมการนี้
เราจึงสรุปได้ว่า ระบบสมการที่ประกอบด้วยสมการเชิงเส้น ที่มีตัวแปร 2 ตัว 2 สมการ อาจมีคำตอบเพียงคำตอบเดียว ในกรณีที่เส้นตรงทั้งสองตัดกันหรือไม่มีคำตอบเลยในกรณีที่เส้นตรงทั้งสองขนานกัน หรือมีคำตอบมากมายแจกแจงไม่หมดในกรณีที่เส้นตรงทั้งสองทับกัน
         แม้ว่าระบบสมการที่มีตัวแปรไม่เกิน 2 ตัว จะไม่ใช่ระบบสมการเชิงเส้นเราก็อาจแก้ไขได้โดยวิธีเขียนกราฟ เช่น

ระบบสมการเชิงเส้น  x² + 4y² = 4
                                  y = x² - 2
         มีคำตอบ 4 คำตอบ ค่าโดยประมาณคือ (-1.1,-.8), (1.1,-8), (-1.6,.6), 1.6,.6

สมการไดโอแฟนทีน

          สมการที่น่าสนใจประเภทหนึ่ง คือ สมการที่ต้องการคำตอบเฉพาะที่เป็นจำนวนเต็ม หรือจำนวนตักยะ สมการประเภทนี้เรียกว่า  สมการไดโอแฟนทีน (Diophantine equations) ซึ่งเป็นชื่อที่ตั้งขึ้นเพื่อเป็นเกียรติแก่นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกชื่อ  ไดโอแฟนทัส *(Diophantus)

          ตัวอย่างของโจทย์ปัญหาประเภทนี้คือ "มีส้มอยู่จำนวนหนึ่ง ถ้าจะแบ่งให้คน 5 คนๆ ละเท่าๆ กัน จะขาดส้ม 1 ผล ถ้าจะแบ่งให้คน 7 คนๆ ละเท่าๆ กัน ก็จะขาด 1 ผล ถามว่ามีส้มอยู่เท่าไร"
          ถ้าสมมุติว่ามีส้มอยู่ n ผล เราจะได้ว่า n+1 หารด้วย  5 ลงตัว และหารด้วย 7 ก็ลงตัว นั่นคือ n+1 = 5x  และ n+1 = 7y  เมื่อ x และ y แทนจำนวนเต็มบวก

          เราจึงต้องแก้สมการ 5x = 7y  เมื่อ x และ y  แทนจำนวนเต็มบวก

          จะเห็นว่าสมการนี้มีคำตอบมากมายได้แก่ (7,5), (14,10), (21,15), (28,20), (35,25), (42,30),... คำตอบเหล่านี้ให้ค่า 5x (หรือ 7y)  เป็น 35, 70, 105, 140, 175, 210,... ตามลำดับ  ดังนั้นค่าของ n ที่ต้องการคือ 34, 69, 104, 139, 174, 209,... ถ้าโจทย์ถามเพิ่มเติมว่าจำนวนส้มน้อยที่สุดเป็นเท่าไร จึงจะมีลักษณะตามที่ต้องการ ก็จะได้คำตอบ  34

          สมการไดโอแฟนทีนมีอยู่มากมายหลายประเภท สมการไดโอแฟนทีนที่มีชื่อเสียงมากสมการหนึ่งคือ สมการ x² + y²  = z² ซึ่งเราเรียกกันว่า สมการปีทาโกเรียน (Pythagorean equation) ชื่อนี้ตั้งขึ้นเพื่อเป็นเกียรติแก่ ปีทาโกรัส*(Pythagorus) การหาคำตอบที่เป็นจำนวนบวกของสมการนี้ก็คือ การหาความยาวที่เป็นจำนวนเต็มของด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมมุมฉากนั่นเอง คำตอบที่เราทราบกันดีคือ x=3, y=4, z=5 ซึ่งเขียนได้อีกอย่างหนึ่งว่า (3,4,5) สมการปีทาโกเรียนนี้มีคำตอบมากมายนับได้ไม่หมด คำตอบทั้งหลายหาได้จากสูตรต่อไปนี้ คือ

          x = a² - b²,y = 2ab และ  z = a² + b² เมื่อ a และ b แทนจำนวนเต็ม เช่น ถ้าให้ a = 2 และ b = 1 เราจะได้คำตอบ (3,4,5) ถ้าให้ a = 3 และ b = 2  เราจะได้คำตอบ (5,12,13) ถ้าให้ a = 3 และ b = 1เราจะได้คำตอบ (8,6,10) เป็นต้น

         เรากล่าวได้ว่าสมการปีทาโกเรียนนั้น เราทราบคำตอบได้อย่างสมบูรณ์เพราะเรามีวิธีหาคำตอบทั้งหมดได้

         สมการไดโอแฟนทีนที่มีตัวแปร 2  ตัว และเป็นการเชิงเส้น เช่น 5x = 7y, 6x + 15y = 12  ฯลฯ เราทราบคำตอบได้อย่างสมบูรณ์ แต่สมการไดโอแฟนทีนส่วนใหญ่ยังไม่ทราบคำตอบอย่างสมบูรณ์ บางสมการยังไม่ทราบเลยด้วยซ้ำไปว่ามีคำตอบหรือไม่ เช่น สมการ xⁿ + yⁿ = zⁿ  เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มซึ่งมากกว่า 2 สมการนี้ไม่มีใครทราบเลยว่ามีคำตอบเป็นจำนวนเต็มบวกหรือไม่

         แฟร์มาต์* ทำนายไว้ว่า "สมการ xⁿ + yⁿ = zⁿ  ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มบวก เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 2"  ข้อความนี้เขียนได้อีกอย่างหนึ่งว่า "ไม่ว่า x, y, z, n จะเป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ ก็ตาม ถ้า n มากกว่า 2 แล้ว จะได้ว่า xⁿ + yⁿ  zⁿ" ข้อความนี้เรียกกันว่า ทฤษฏีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ (Fermat's Last Theorem) ในระยะเวลา 300 กว่าปีที่ผ่านมานี้ นักคณิตศาสตร์หลายคนพยายามพิสูจน์ข้อความนี้ และมีผู้ค้นพบข้อความนี้เป็นข้อความจริงสำหรับหลายค่าของ n เช่น มีผู้พิสูจน์ได้ว่า "ไม่ว่า x,y,z,n จะเป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ ก็ตาม ถ้า n มากกว่า 2 และน้อยกว่า 100 แล้ว จะได้ว่า xⁿ + yⁿ    zⁿ" แต่จนบัดนี้ก็ยังไม่มีใครสามารถพิสูจน์ได้ว่า ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ เป็นข้อความจริงหรือเท็จ

        ความจริง ปัญหาคณิตศาสตร์ที่เกิดในชีวิตประจำวันมักจะไม่ใช่ปัญหาสมการ เช่น ถ้าเราต้องการซื้อของ เราก็มักจะใช้ซื้อจนเงินหมดกระเป๋า เพียงแต่ซื้อไม่ให้เกินเงินที่มีอยู่เท่านั้น เช่น มีเงิน 20 บาท จะซื้อส้มเขียนหวานราคากิโลกรัมละ 4 บาท เราอาจจะไม่ซื้อจนหมดเงิน เราอาจจะซื้อเพียง 1 กิโลกรัม หรือ 2 กิโลกรัมเท่านั้น แต่เราจะซื้อเกิน 5 กิโลกรัมไม่ได้ ถ้าสมมุติว่าซื้อ x  กิโลกรัม จะสิ้นเงิน 4x  บาท ถ้าซื้อจนหมดเงิน จะเขียนได้เป็นสมการ 4x = 20 แต่โดยปกติแล้วเราไม่จำเป็นต้องซื้อจนหมดเงิน เราจึงกำหนดเพียงว่า 4x ต้องไม่มากกว่า 20 หรือ 4x  น้อยกว่าหรือเท่ากับ 20  ซึ่งเขียนได้อีกอย่างหนึ่งว่า 4x    20
เครื่องหมายที่แสดงความไม่เท่ากันที่นิยมใช้กันมีดังต่อไปนี้
>     แทนคำว่า   มากกว่า
=            "           มากกว่าหรือเท่ากับ
<            "           น้อยกว่า
<            "           น้อยกว่าหรือเท่ากับ

≠          "        ไม่เท่ากับ

ที่มา : สุภา สุจริตพงศ์.  สมการและอสมการ.  ค้นข้อมูล 6 กุมภาพันธ์ 54  จาก http://www.kroobannok.com/639

พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม

พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม

รูปหลายเหลี่ยม (Polygon) คือรูปบนระนาบ ที่มีด้านทุกด้านเป็นเส้นตรง ถ้าด้านทุกด้านเท่ากันเราเรียกว่า รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า รูปหลายเหลี่ยมที่มีจำนวนด้านน้อยที่สุดคือรูปสามเหลี่ยม ซึ่งมีด้านเป็นเส้นตรงเพียงสามด้านเท่านั้น เราอาจจะแบ่งรูปสามเหลี่ยม ตามลักษณะของมุมและด้านของรูปได้ 6 แบบ คือ
          1. รูปสามเหลี่ยมมุมฉากจะมีมุมๆ หนึ่งเท่ากับ 90 องศา เมื่อเอาสามเหลี่ยมมุมฉากที่เท่ากันสองรูป มาวางให้ด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉากประกบกันสนิท (ตามรูป) จะได้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหนึ่งรูปพอดีแสดงว่ารูปสามเหลี่ยมมุมฉากมีพื้นที่เท่ากับครึ่งหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
          ดังนั้น พื้นที่สามเหลี่ยมมุมฉาก  = 1/2 x ฐาน x สูง
          2. สามเหลี่ยมมุมแหลม  มีมุมทั้งสามเล็กกว่า 90  องศา
          3. สามเหลี่ยมมุมป้าน  มีมุมหนึ่งมุมใหญ่กว่า 90  องศา
          4. สามเหลี่ยมด้านเท่า มีด้านทั้งสามยาวเท่ากัน  มุมภายในของสามเหลี่ยมด้านเท่าต่างเท่ากับ  60  องศาทุกมุม
          5. สามเหลี่ยมหน้าจั่ว เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีด้านสองด้านยาวเท่ากัน หน้าจั่วของบ้านแบบไทย หน้าจั่วของโบสถ์วิหารหรือศาลา ล้วนมีลักษณะเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วทั้งนั้น
          6. สามเหลี่ยมด้านไม่เท่า  ด้านทั้งสามมีความยาวไม่เท่ากัน

          สามเหลี่ยมอยู่บนฐานเดียวกันและมีความสูงเท่ากันจะมีพื้นที่เท่ากันเสมอ เพราะต่างก็มีพื้นที่เป็นครึ่งหนึ่งของสี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งมีฐานเดียวกันและมีความสูงเท่ากัน
          สูตรการหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมทั่วไปก็คือ พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม  = 1/2 x ฐาน x สูง
          ถ้า a, b และ c แทนความยาวของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมและ 2 s แทนความยาวของเส้นรอบรูปของรูปสามเหลี่ยม กล่าวคือ 2s = a + b + c เราอาจจะหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมได้จากสูตร
               พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม   =   s(s-a)(s-b)(s-c)
          จากวิชาตรีโกณมิติ พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมมีความสัมพันธ์กับด้านและมุมของสามเหลี่ยมนั้น เช่น เมื่อทราบความยาวของด้านสองด้านและขนาดของมุมที่อยู่ระหว่างด้านทั้งสอง เราจะได้พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมจากสูตร
          พื้นที่รูปสามเหลี่ยม = 1/2 bc sin A = 1/2 ca sin B = 1/2 ab sin C          ในเมื่อ a, b, และ c เป็นความยาวของด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุม A, B และ C ตามลำดับ
          ที่จริงแล้วถ้าเราทราบค่าของด้านและมุมของรูปสามเหลี่ยมเพียง 3 ค่าเท่านั้น เราก็อาจจะคำนวณหาค่าที่เหลืออีก 3  ค่า รวมทั้งค่าของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมนั้นได้เสมอ  นักสำรวจรังวัดได้นำความรู้นี้ไปใช้ในการหาพื้นที่ของที่ดินที่มีลักษณะต่างๆ โดยแบ่งที่ดินนั้นออกเป็นรูปสามเหลี่ยมหลายรูป วัดด้านและมุมของสามเหลี่ยมทุกรูปที่ได้ ก็จะสามารถคำนวณหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมทุกรูปได้ เมื่อรวมผลลัพธ์ทั้งหมดก็จะได้ขนาดของพื้นที่ที่รังวัดนั้น


ที่มา : สุรวิทย์ กองสาสนะ.  พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม.  ค้นข้อมูล 6 กุมภาพันธ์ 54 จาก http://www.kroobannok.com/724

ความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ หมายถึง ค่าที่บอกให้ทราบว่า เหตุการณ์ที่สนใจนั้นมีโอกาสเกิดขึ้นมากน้อยเพียงใด เมื่อผลทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทดลองสุ่มแต่ละตัวมีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่า ๆ กัน เรียกความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่หาโดยวิธีนี้ว่า ความน่าจะเป็นในทางปฏิบัติ (Empirical probability)

ความน่าจะเป็น

        ในชีวิตประจำวันเราอยู่กับเหตุการณ์ต่าง ๆ และมีคำถามอยู่ในใจตลอดเวลา เช่น

• พรุ่งนี้ฝนจะตกหรือไม่
• บางทีเราต้องไปทำงานวันนี้
• นายกอาจลาออกและยุปสภาเร็ว ๆ นี้
• ทีมฟุตบอลทีมใดจะได้เป็นแชมป์โลก
• ใครชนะเลือกตั้งในสมัยหน้า

        คำว่า "ความน่าจะเป็น" หรือ "probability" เป็นวิธีการวัดความไม่แน่นอนในรูปแบบคณิตศาสตร์ เช่น เมื่อโยนเหรียญ ความน่าจะเป็นของเหรียญที่จะออกหัวหรือก้อยเท่ากับ 0.5
        ดังนั้นเหตุการณ์ต่าง ๆ ที่เกิดขึ้นในอาณาคตเป็นสิ่งที่ยากจะคาดเดาได้ถูกต้องร้อยเปอร์เซนต์ นักอุตุนิยมวิทยาจึงใช้หลักการของความน่าจะเป็นเข้ามาทำนาย เช่น ความน่าจะเป็นของการเกิดฝนตกใน กรุงเทพมหานคร ในวันพรุ่งนี้มีค่าเท่ากับ 0.7
        ความน่าจะเป็น เป็นค่าที่อาจมีความหมายที่หลายคนเข้าใจได้ไม่ยาก ความน่าจะเป็น เป็นศาสตร์ที่มีความละเอียดอ่อนที่จะนำไปประยุกต์ใช้ โดยเฉพาะเหตุการณ์ในชีวิตประจำวันต่าง ๆ ความน่าจะเป็นมีการกำหนดค่าเป็นเศษส่วนหรือเป็นเปอร์เซนต์หรือให้มีค่าระหว่าง 0 ถึง 1 เช่น ถ้านำลูกเต๋า ทอยลงบนพื้น โอกาสที่จะปรากฎหน้า 1 มีค่าเท่ากับ 1/6 หรือ 16.6 เปอร์เซนต์ ถ้าโยนเหรียญหนึ่งเหรียญ และให้ตกบนพื้น (โยนแบบยุติธรรม) โอกาสที่จะปรากฏหัวเท่ากับ 1/2 หรือ 0.5

        เราสามารถวัดหาค่าความน่าจะเป็นได้สองวิธี (บางทีเป็น 3 วิธี) ขึ้นกับสภาวะแวดล้อม

1.เมื่อเหตุการณ์ปรากฏมีลักษณะเหมือน ๆ กัน
        สมมุติว่าเราทอยเหรียญจะมีโอกาสที่เป็นไปได้สองแบบคือ หัว หรือก้อย ถ้าเหรียญเป็นเหรีญญปกติ การทอยทอยอย่างยุติธรรม ผลที่เกิดหัวหรือก้อยมีลักษณะเท่าเทียมกัน

        ทำนองเดียวกันที่เราทอยลูกเต๋า โอกาสที่ลูกเต๋าจะปรากฎหน้า 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 มีได้เท่ากัน ดังนั้นความน่าจะเป็นของการทอยลูกเต๋าให้ปรากฎหน้าที่เป็นเลขคู่

        ประชากรคนไทยยังนิยมการเสี่ยงโชค รัฐบาลได้ออกฉลากกินแบ่งหรือที่รู้จักกันในนามลอตเตอรี่ หรือ หวยรัฐบาล ตัวเลขของฉลากกินแบ่ง มี 6 ตัวเลข ซึ่งก็มีจำนวนฉลากทั้งสิ้น 1 ล้าน ฉบับ มีรางวัลที่หนึ่งมี 1 รางวัล รางวัลที่สอง มี 5 รางวัล รางวัลที่สามมี 10 รางวัล รางวัลที่สี่มี 50 รางวัล รางวัลที่ห้ามี 100 รางวัล

        โอกาสที่จะถูกรางวัลที่หนึ่ง คือ

        โอกาสที่จะถูกรางวัลที่ 1 ถึง 5 มี

        ดังนั้นถ้าเหตุการณ์ที่ปรากฎแต่ละครั้งมีโอกาสเท่าเทียมกับสิ่งที่เป็นความน่าจะเป็นคือ

        ลักษณะที่กล่าวมานี้เห็นว่าโอกาสหรือสิ่งที่เป็นเหตุการณ์แต่ละครั้งที่ปรากฎ จะมีโอกาสความน่าจะเป็นเท่ากัน ลักษณะจึงเหมือนการทอยเหรียญ ลูกเต๋า หรือการซื้อลอตเตอรี่ ทุกครั้งที่มีเหตุการณ์เกิดขึ้นขึงมีความน่าจะเป็นที่ชัดเจน
2.เมื่อเหตุการณ์ปรากฏมีลักษณะเหมือน ๆ กัน
        สมมุติว่าเราทอยเหรียญจะมีโอกาสที่เป็นไปได้สองแบบคือ หัว หรือก้อย ถ้าเหรียญเป็นเหรีญญปกติ การทอยทอยอย่างยุติธรรม ผลที่เกิดหัวหรือก้อยมีลักษณะเท่าเทียมกัน

        ทำนองเดียวกันที่เราทอยลูกเต๋า โอกาสที่ลูกเต๋าจะปรากฎหน้า 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 มีได้เท่ากัน ดังนั้น ความน่าจะเป็นของการทอยลูกเต๋าให้ปรากฎหน้าที่เป็นเลขคู่

        ประชากรคนไทยยังนิยมการเสี่ยงโชค รัฐบาลได้ออกฉลากกินแบ่งหรือที่รู้จักกันในนามลอตเตอรี่ หรือ หวยรัฐบาล ตัวเลขของฉลากกินแบ่ง มี 6 ตัวเลข ซึ่งก็มีจำนวนฉลากทั้งสิ้น 1 ล้าน ฉบับ มีรางวัลที่หนึ่งมี 1 รางวัล รางวัลที่สอง มี 5 รางวัล รางวัลที่สามมี 10 รางวัล รางวัลที่สี่มี 50 รางวัล รางวัลที่ห้ามี 100 รางวัล
        โอกาสที่จะถูกรางวัลที่หนึ่ง คือ

        โอกาสที่จะถูกรางวัลที่ 1 ถึง 5 มี

        ดังนั้นถ้าเหตุการณ์ที่ปรากฎแต่ละครั้งมีโอกาสเท่าเทียมกับสิ่งที่เป็นความน่าจะเป็นคือ

        ลักษณะที่กล่าวมานี้เห็นว่าโอกาสหรือสิ่งที่เป็นเหตุการณ์แต่ละครั้งที่ปรากฎ จะมีโอกาสความน่าจะเป็นเท่ากัน ลักษณะจึงเหมือนการทอยเหรียญ ลูกเต๋า หรือการซื้อลอตเตอรี่ ทุกครั้งที่มีเหตุการณ์เกิดขึ้นขึงมีความน่าจะเป็นที่ชัดเจน

ที่มา :  ความน่าจะเป็น.  ค้นข้อมูล 6 กุมภาพันธ์ 54 จาก http://www.kroobannok.com/1451.

การเขียนเซต

การเขียนเซต

 ในการเขียนเซต นอกจากจะเขียนวงกลมหรือวงรีล้อมรอบสมาชิกทั้งหมดของเซต เรายังมีวิธีเขียนเซตแบบอื่นอีก คือ
           1. วิธีแจกแจงสมาชิก วิธีนี้ เราเขียนสมาชิกทั้งหมดลงในเครื่องหมายวงเล็บปีกกา และคั่นระหว่างสมาชิกด้วยเครื่องหมายจุลภาค         
          ถ้าเซตมีสมาชิกมากมายไม่สิ้นสุดเราใช้  "..."  เพื่อบอกว่ายังมีสมาชิกตัวอื่นๆ อยู่ในเซตนี้ด้วย เช่น เซตของจำนวนนับ  เขียนแทนด้วย {1, 2, 3,...} แต่ถ้าเซตมีสมาชิกมาก และมีสมาชิกสุดท้าย เราใช้ "...,"  แล้วตามด้วยสมาชิกสุดท้าย เช่น เซตของจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่า 100 เขียนแทนด้วย {1, 2, 3, ..., 99}
          2. วิธีบ่งลักษณะของสมาชิก วิธีนี้เราเขียนตัวแปรตัวหนึ่งแทนสมาชิกของเซตไว้ในวงเล็บปีกกา พร้อมทั้งมีคำอธิบายคุณสมบัติของสมาชิกที่อยู่ในเซตนั้น เช่น
          เซตของวันในหนึ่งสัปดาห์  เขียนแทนด้วย
                                                    { x | x เป็นวันในหนึ่งสัปดาห์ }
                                                    อ่านว่าเซตของ  X  ซึ่งมีคุณสมบัติว่า X
                                                    เป็นวันใดๆ ในหนึ่งสัปดาห์
                            {1, 2, 3}          เขียนแทนด้วย
                                                    { x | x เป็นจำนวนเต็มบวก และ x < 4 }
                                                    อ่านว่าเซตของ  x  ซึ่งมีคุณสมบัติว่า  x
                                                    เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ ที่มีค่าน้อยกว่า 4
          เซตของจำนวนจริงที่อยู่ระหว่าง  0  และ  1  เขียนแทนด้วย
                                                    { x | x เป็นจำนวนจริงและ  0 < x < 1 }
                                                    อ่านว่าเซตของ  x  ซึ่งมีคุณสมบัติว่า  x
                                                    เป็นจำนวนจริงที่มีค่ามากกว่า   0  และน้อยกว่า 1

         เพื่อความสะดวกในการอ้างถึงเซตต่างๆ อาจกำหนดชื่อเซตนั้นด้วยตัวอักษร  เช่น
         A   =  { 1, 2, 3,..., 99 }
         B   =  { x | x  เป็นจำนวนเต็มบวกและ  x  <  4 }

ที่มา : ไสว นวลตรณี, ศักดา บุญโต และสุพจน์ ไชยสังข์.  การเขียนเซต.  ค้นข้อมูล 6 กุมภาพันธ์ 54 จาก http://www.kroobannok.com/2824.

เอกภพสัมพัทธ์ (Relative Universe)

เอกภพสัมพัทธ์ (Relative Universe)



 การที่จะศึกษาเรื่องใดก็ตาม ในแง่ของเซต เรามักจะมีขอบข่ายในการพิจารณาสมาชิกของเซตที่จะกล่าวถึง เช่น       
          ในการพิจารณาคนในครอบครัวของนายแจ้ง ขอบข่ายที่เราจะพิจารณาคือ สมาชิกของครอบครัวนี้เท่านั้น และถือว่าเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกทุกคนในครอบครัวนี้เป็นเซตใหญ่ที่สุดที่เราจะพูดถึง ซึ่งเราจะเรียกเซตนี้ว่า เอกภพสัมพัทธ์          ดังนั้น เซตอื่นๆ จะต้องเป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์ (ครอบครัวของนายแจ้ง) ทั้งสิ้น จึงกล่าวได้ว่า ในการพิจารณาเซต หรือศึกษาเรื่องใดก็ตามในแง่ของเซตเราจะต้องกำหนดเซตขึ้นมาเซตหนึ่ง เรียกว่า   เอกภพสัมพัทธ์ ซึ่งประกอบด้วยสมาชิกทั้งหมดที่กล่าวถึงในเรื่องนั้น
          ดังนั้น เซตอื่นๆ ที่กล่าวถึงต่อไป ก็จะต้องเป็นสับเซตของ เอกภพสัมพัทธ์ เสมอ โดยมากมักใช้ U แทนเอกภพสัมพัทธ์ ถ้าเราต้องการศึกษาให้กว้างขวางนี้ เช่น ต้องการศึกษาเกี่ยวกับจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ เราอาจจะให้เอกภพสัมพัทธ์ เป็นเซตจำนวนจริง เป็นต้น
          ถ้าให้ U เป็นเซตของจำนวนเต็มบวก เซตที่เราพิจารณาต้องเป็นสับเซตของ U เท่านั้น ซึ่งอาจเป็น
          เซตของจำนวนคู่บวก
          เซตของจำนวนเฉพาะ
                          .
                          .
                          .          เซตของจำนวนเต็มที่เขียนได้ในรูป 4n² + n  เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก  ฯลฯ

ที่มา :  เอกภพสัมพัทธ์ (Relative Universe).  ค้นข้อมูล 6 กุมภาพันธ์ 54 จาก  http://www.kroobannok.com/2984

ทฤษฎีปิทาโกรัส

ทฤษฎีปิทาโกรัส

1.ทฤษฎีบทของปิทาโกรัส (Pythagorean Theorem)

ถ้า ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งมี มุม ACB เป็นมุมฉาก c แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก a และ b แทนความยาวด้านประกอบมุมฉาก จะได้ความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากดังนี้

c² = a² + b²

ข้อสังเกต นิยมใช้ a แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุม A

นิยมใช้ b แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุม B

นิยมใช้ c แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุม C

ตัวอย่าง จงหาความยาวของด้านที่ 3 ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เมื่อกำหนดความยาวของด้าน 2 ด้านให้ดังต่อไปนี้ a = 7 , b = 24

วิธีทำ

c² = a² + b²

c² = 7² + 24²

c² = 49 + 576

c² = 625

c² =25²

c = 25

2. บทกลับของปิทาโกรัส

ถ้า ABC เป็นรูปสามเหลี่ยม มีด้านยาว a , b และ c หน่วย และ c² = a² + b² จะได้ว่ารูปสามเหลี่ยม ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และมีด้านยาว c หน่วยเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก

ข้อสังเกต ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ ด้านตรงข้ามมุมฉากจะเป็นด้านที่ยาวที่สุด

         3. การนำไปใช้งาน
สามารถนำทฤษฎีปิทาโกรัสไปใช้ในการแก้ปัญหาโจทย์ที่เกี่ยวกับ ความกว้าง ความยาว หรือ ความสูงของสิ่งต่าง ๆ ได้

ที่มา  : ทฤษฎีปีทาโกรัส.  คนข้อมูลเมื่อ 6 กุมภาพันธ์ 54 จาก  http://ecurriculum.mv.ac.th/math/m1/basic/unit6/202/math3.htm .