การแก้ระบบสมการ โดยใช้วิธีเมตริกผกผัน

การแก้ระบบสมการ โดยใช้วิธีเมตริกผกผัน

          ตัวอย่างที่ 3

                เพราะฉะนั้นเขียนระบบสมการ (1) ในระบบเมตริกได้

                        AX = B          _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ (2)

          เงื่อนไขในการที่สมการนี้จะมีคำตอบ หรือหาค่า X ได้ คือ A ต้องมีเมตริกผกผันหรือดีเทอร์มิแนนต์ของ A ไม่เป็นศูนย์ ให้ C เป็นเมตริกผกผันของ A และ C = (ci j)3x3

                   จาก  (2)  ได้   CAX   =   CB

                                    หรือ   IX    =   CB  (เพราะว่า  CA = I = AC)

                                               X    =   CB

                 

          หมายเหตุ ถ้ามีตัวแปร n ตัว และมี n สมการ สามารถเขียนคำตอบได้ดังนี้

                  (ดูวิธีหาเมตริกผกผัน)  เพราะฉะนั้น CAX = CB

         ดังนั้น x1 = -3,      x2 = 2

         ดังนั้น X1 = -15, X2 = 35, X3 = -35

   สำหรับระบบสมการที่มีจำนวนตัวแปร และจำนวนสมการไม่เท่ากัน เช่น มี m สมการ และตัวไม่ทราบค่า n ตัวจะมีเมตริกสัมประสิทธิ์เป็นเมตริก m x n ซึ่งไม่ใช่เมตริกจัตุรัสและไม่มีเมตริกผกผัน เราจะแก้ระบบสมการเหล่านี้ โดยอาศัยวิธีการแปลงเบื้องต้น ซึ่งผู้สนใจจะศึกษาได้ในตำราเกี่ยวกับเมตริกดังกล่าวมาแล้ว ในที่นี้จะกล่าวถึงความรู้พื้นฐานเพียงเท่านี้

 ที่มา : นพภา คุณวาสี.  การแก้ระบบสมการโดยใช้วิธีเมตริกผกผัน.  ค้นข้อมูล 5 กุมภาพันธ์54. จาก http://www.kroobannok.com/2825.

ความหมายของคณิตศาสตร์

ความหมายของคณิตศาสตร์ 
ตั้งแต่มนุษย์เราเกิดมามองดูโลกอันสวยงาม ชีวิตของเราเริ่มเกี่ยวข้องกับคณิตศาตร์โดยที่เราไม่ทันจะรู้ตัวด้วยซ้ำว่าตัวเราไปเกี่ยวข้องได้อย่างไร ตัวเลขทางคณิตศาสตร์ได้เข้ามามีบทบาทเกี่ยวข้องในการดำรงชีวิตตั้งแต่แรกเกิด เรายังไม่ได้เข้าโรงเรียนบิดามารดา หรือญาติพี่น้องจะพร่ำสอนให้เรารู้จักกับตัวเลข เพื่อนำมาประกอบการใช้ชีวิตในวันก่อนเข้าเรียนบางครั้งมนุษย์จะเรียนรู้ตัวเลขจากธรรมชาติ สภาพแวดล้อมรอบ ๆ ตัวเราจะช่วยให้เกิดการเรียนรู้มากขึ้น
          เมื่อถึงวัยเข้าเรียนมีครู อาจารย์ สอนให้อ่านออกเสียงและเขียนหนังสือได้ สอนให้เรารู้จักตัวเลข นับตัวเลข และเขียนตัวเลขได้ พร้อมทั้งสอนให้รู้จักการบวก ลบ คูณ และหารเป็น การอ่านหนังสือได้และคิดเลขเป็นมีความสำคัญต่อมนุษย์ทุกคน  การอ่านหนังสือได้และคิดเลขเป็น มีความสำคัญต่อมนุษย์ทุกคน การอ่านหนังสือออกทำให้เป็นคนฉลาดและเรียนรู้ได้ดีขึ้น มีความรอบรู้เรื่องต่าง ๆ ที่เป็นเรื่องราวของคนในอดีตและเรื่องของคนในยุคปัจจุบัน การที่เราได้คิดได้รู้โดยเฉพาะการคิดเลขทำให้คนเรามีสติปัญญา  รู้จัการใช้ความคิด และความเข้าใจการใช้เหตุและผล   เราจะต้องอาศัยความรอบรู้และการรู้จักใช้ความคิด ควบคุ่กันไปในการประกอบอาชีพและการดำรงชีวิตอยู่ในสังคม
         การใช้ตัวอักษรและตัวเลขมีความจำเป็นอย่างมากเป็นที่ยอมรับกันมาทุกยุคทุกสมัย ในดีตประวัติศาสตร์ไทยสมัยกรุงสุโขทัย ในปี พ.ศ. 1826  กษัตริย์สมัยพ่อขุนรามคำแหงมหาราช พระองค์ได้ทรงประดิษฐ์ลายสือไท ขึ้น พระองค์ทรงประดิษฐ์ทั้งตัวอักษรและตัวเลขเป็นของเราเอง
        เราจะเห็นว่าความผูกพันกับตัวเลข การคิดเลข และการนำตัวเลข มาใช้ในชีวิตประจำวันนั้นมีมานานแล้ว จนเราไม่สามารถแยกแยะตัวเลขและการใช้ออกไปจากตัวเราได้ เราจึงมีวิวัฒนาการการใช้ตัวเลขและการคิดที่มีการพัฒนารูปแบบแนวคิดมาตลอดตามยุคตามสมัยจนถึงปัจจุบัน
        เมื่อเรารู้จักตัวเลข รู้จักการเขียน  การอ่าน การบวก การลบ การคูณ และการหารตัวเลข สิ่งดังกล่าวที่มาเกี่ยวข้องกับตัวเราเราต้องทำความสะอาดรู้จักและเข้าใจความหมายของคำต่อไปนี้
                   "คณิต" หมายถึง  การนับ การคำนวณ วิชาคำนวณ การประมาณ
                   "คณิตศาสตร์"  หมายถึง วิชาว่าด้วยการคำนวณหรือตำรา
          คณิตศาสตร์  เป็นวิชาที่มีความจำเป็นในการประกอบอาชีพ  เช่น ด้านกสิกรรม อุตสาหกรรม และพาณิชยกรรม ผู้มีอาชีพเป็นสถานปนิก วิศวกรออกแบบ และควบคุมการก่อนสร้าง นักวิทยาศาสตร์คิดค้นสิ่งแปลก ใหม่ นักเศรษฐศาสตร์มีความจำเป็นที่จะต้องมีความรู้ ความสามารถ เกี่ยวกับคณิตศาตร์ หรือตัวเลขต่าง ๆ ในการปรกอบกิจกรรมนั้น ๆ

 ตั้งแต่มนุษย์เราเกิดมามองดูโลกอันสวยงาม ชีวิตของเราเริ่มเกี่ยวข้องกับคณิตศาตร์โดยที่เราไม่ทันจะรู้ตัวด้วยซ้ำว่าตัวเราไปเกี่ยวข้องได้อย่างไร ตัวเลขทางคณิตศาสตร์ได้เข้ามามีบทบาทเกี่ยวข้องในการดำรงชีวิตตั้งแต่แรกเกิด เรายังไม่ได้เข้าโรงเรียนบิดามารดา หรือญาติพี่น้องจะพร่ำสอนให้เรารู้จักกับตัวเลข เพื่อนำมาประกอบการใช้ชีวิตในวันก่อนเข้าเรียนบางครั้งมนุษย์จะเรียนรู้ตัวเลขจากธรรมชาติ สภาพแวดล้อมรอบ ๆ ตัวเราจะช่วยให้เกิดการเรียนรู้มากขึ้น
          เมื่อถึงวัยเข้าเรียนมีครู อาจารย์ สอนให้อ่านออกเสียงและเขียนหนังสือได้ สอนให้เรารู้จักตัวเลข นับตัวเลข และเขียนตัวเลขได้ พร้อมทั้งสอนให้รู้จักการบวก ลบ คูณ และหารเป็น การอ่านหนังสือได้และคิดเลขเป็นมีความสำคัญต่อมนุษย์ทุกคน  การอ่านหนังสือได้และคิดเลขเป็น มีความสำคัญต่อมนุษย์ทุกคน การอ่านหนังสือออกทำให้เป็นคนฉลาดและเรียนรู้ได้ดีขึ้น มีความรอบรู้เรื่องต่าง ๆ ที่เป็นเรื่องราวของคนในอดีตและเรื่องของคนในยุคปัจจุบัน การที่เราได้คิดได้รู้โดยเฉพาะการคิดเลขทำให้คนเรามีสติปัญญา  รู้จัการใช้ความคิด และความเข้าใจการใช้เหตุและผล   เราจะต้องอาศัยความรอบรู้และการรู้จักใช้ความคิด ควบคุ่กันไปในการประกอบอาชีพและการดำรงชีวิตอยู่ในสังคม
         การใช้ตัวอักษรและตัวเลขมีความจำเป็นอย่างมากเป็นที่ยอมรับกันมาทุกยุคทุกสมัย ในดีตประวัติศาสตร์ไทยสมัยกรุงสุโขทัย ในปี พ.ศ. 1826  กษัตริย์สมัยพ่อขุนรามคำแหงมหาราช พระองค์ได้ทรงประดิษฐ์ลายสือไท ขึ้น พระองค์ทรงประดิษฐ์ทั้งตัวอักษรและตัวเลขเป็นของเราเอง
        เราจะเห็นว่าความผูกพันกับตัวเลข การคิดเลข และการนำตัวเลข มาใช้ในชีวิตประจำวันนั้นมีมานานแล้ว จนเราไม่สามารถแยกแยะตัวเลขและการใช้ออกไปจากตัวเราได้ เราจึงมีวิวัฒนาการการใช้ตัวเลขและการคิดที่มีการพัฒนารูปแบบแนวคิดมาตลอดตามยุคตามสมัยจนถึงปัจจุบัน
        เมื่อเรารู้จักตัวเลข รู้จักการเขียน  การอ่าน การบวก การลบ การคูณ และการหารตัวเลข สิ่งดังกล่าวที่มาเกี่ยวข้องกับตัวเราเราต้องทำความสะอาดรู้จักและเข้าใจความหมายของคำต่อไปนี้
                   "คณิต" หมายถึง  การนับ การคำนวณ วิชาคำนวณ การประมาณ
                   "คณิตศาสตร์"  หมายถึง วิชาว่าด้วยการคำนวณหรือตำรา
          คณิตศาสตร์  เป็นวิชาที่มีความจำเป็นในการประกอบอาชีพ  เช่น ด้านกสิกรรม อุตสาหกรรม และพาณิชยกรรม ผู้มีอาชีพเป็นสถานปนิก วิศวกรออกแบบ และควบคุมการก่อนสร้าง นักวิทยาศาสตร์คิดค้นสิ่งแปลก ใหม่ นักเศรษฐศาสตร์มีความจำเป็นที่จะต้องมีความรู้ ความสามารถ เกี่ยวกับคณิตศาตร์ หรือตัวเลขต่าง ๆ ในการปรกอบกิจกรรมนั้น ๆ


ที่มา : orchid.  ความหมายของคณิตศาสตร์.  ค้นข้อมูล 6 กุมภาพันธ์ 55.   จาก http://blog.eduzones.com/jintra/33248

ลำดับ (Sequence)

ลำดับ (Sequence)
อดีตกลุ่มปีทาโกเรียนสร้างจำนวนเชิงรูปภาพขึ้น เพื่อแสดงความสัมพันธ์ระหว่างเรขาคณิตกับ เลขคณิต เช่น จำนวนเชิงสามเหลี่ยม และ จำนวนเชิงสี่เหลี่ยม

จำนวนเชิงสามเหลี่ยม 5 จำนวนแรก
จำนวนเชิงสี่เหลี่ยม 5 จำนวนแรก
จำนวนเชิงสามเหลี่ยม ได้แก่ 1, 3, 6, 10, 15, ... ซึ่งมีจำนวนมากมายนับไม่ถ้วน
จำนวนเชิงสี่เหลี่ยม ได้แก่ 1, 4, 9, 16, 25, ... ซึ่งมีจำนวนมากมายนับไม่ถ้วนเช่นกัน

• จำนวนเชิงสามเหลี่ยม และ จำนวนเชิงสี่เหลี่ยม เป็น ตัวอย่างของลำดับ ที่เรียกว่า ลำดับอนันต์ (Infinite Sequence)
• จำนวนเชิงสามเหลี่ยม 5 จำนวนแรก และ จำนวนเชิงสี่เหลี่ยม 5 จำนวนแรก เป็น ตัวอย่างของลำดับ ที่เรียกว่า ลำดับจำกัด (Finite Sequence

ใน

เทคนิคการคูณเลขเร็ว

เทคนิคการคูณเลขเร็ว

ในการคิดคำนวณจำนวนต่างๆ โดยการคูณเลขหลายหลักอาจจะต้องใช้เวลาในการหาผลลัพธ์นั้นค่อนข้างนาน แต่ตัวเลขที่เรานำไปคูณบางตัวนั้นก็มีเทคนิควิธีลัดในการคิดหาผลลัพธ์ ทำให้เราใช้เวลาคิดเพียงเล็กน้อย ได้ผลลัพธ์รวดเร็ว

- การคูณเลขด้วย 9, 99,999…

วิธีคิด 1. ให้นำ 1 บวกกับจำนวนที่ลงท้ายด้วย 9

2. จากนั้นนำไปคูณกับจำนวนที่คูณกับ 9 , 99 , 999… เช่น 45 x 99 ก็ต้องเอา 100 มาคูณ 45 เป็น 4,500 แล้วนำมาลบกับ 45 ก็จะได้คำตอบ

ตัวอย่าง การคูณด้วย 9, 99, 999...

1. 748 x 9 = 7,480 - 748 = 6,732

2. 543 x 99 = 54,300 - 543 = 53,757

3. 8,965 x 999 = 8,965,000 – 8,965 = 8,956,035 เป็นต้น

ยกตัวอย่างจากข้อสาม 8,965 x 999 ?

นำ 1 บวกกับ 999 ได้ 1,000

จากนั้นนำไปคูณ 8,965 x 1,000 = 8,965,000

แล้วลบด้วย 8,965 อีกครั้งหนึ่ง คือ 8,965,000 – 8,965 = 8,956,035

ผลลัพธ์ที่ได้ คือ 8,956,035

<!--[if !supportLists]-->- <!--[endif]-->กการคูณเลขด้วย 11

แบบที่ 1 คือ จำนวน 2 หลักที่คูณด้วยเลข 11

วิธีคิด 1. นำตัวเลขสองหลักนั้นมาเขียนใหม่โดยเว้นช่องตรงกลางเอาไว้

2. ช่องตรงกลางคือ ผลบวกของตัวมันเอง

ตัวอย่างที่ 1 52 x 11 = ?

วิธีทำ 1. 52 x 11 = 5_2 (นำตัวเลขสองหลักนั้นมาเขียนใหม่โดยเว้นช่องตรงกลางเอาไว้)

2. นำ 5+2=7 นำ 7 มาไว้ตรงกลาง) ก็จะได้คำตอบ 572

ตอบ 572

ตัวอย่างที่ 2 83 x 11 = ?

วิธีทำ 1. 83 x 11 = 8_3 (นำตัวเลขสองหลักนั้นมาเขียนใหม่โดยเว้นช่องตรงกลางเอาไว้)

ในกรณีที่จำนวนของผลบวกนั้นมี 2 หลัก ให้นำหลักหน่วยใส่ไว้ตรงกลาง และนำหลักสิบทดไว้ที่เลขตัวข้างหน้าทางซ้ายมือ แล้วนำเลขทางซ้ายบวกกับจำนวนที่ทดไว้ คือ 8+1 = 9

ตอบ 913

แบบที่ 2 จำนวนหลายๆหลักที่คูณด้วยเลข 11

วิธีคิด 1. นำ 0 ไปเติมไว้ทั้งหน้าและหลัง จำนวน แล้วนำมาบวกกัน

เช่น 123 x 11 จะได้ 01230 แล้วนำมาบวกกัน ตามรูป

ตอบ 1,353

- การคูณเลขด้วย 25

วิธีคิด 1. นำจำนวนที่คูณด้วย 25 มาเติม 00 เช่น 48 x 25 ให้เอา 48 มาเติม 00 จะได้ 4,800

2. นำ 4 มาหาร 4,800 จะได้ 1,200 เป็นคำตอบ ดังนั้น 48 x 25 = 1,200

ตัวอย่างที่ 1 357 x 25 = ?

วิธีทำ 357x 25 = 35,700

= 35,700 แล้วนำมาหารหารด้วย 4

= 8,925

ตอบ 8,925

ที่มา http://gotoknow.org/blog/tiwanporn3/268122

http://math-tiger.blogspot.com/2010_11_01_archive.html

รูปเรขาคณิต / รูปทรงเรขาคณิต

รูปเรขาคณิต / รูปทรงเรขาคณิต

รูปเรขาคณิต

รูป เรขาคณิต หมายถึง รูปต่างๆ ทางเรขาคณิต เช่น
รูปสามเหลี่ยม มีด้าน 3 ด้าน มีมุม 3 มุม
รูปสี่เหลี่ยม มีด้าน 4 ด้าน มีมุม 4 มุม
รูปห้าเหลี่ยม มีด้าน 5 ด้าน มีมุม 5 มุม
รูปหกเหลี่ยม มีด้าน 6 ด้าน มีมุม 6 มุม

 รูปวงกลม มีเส้นโค้งเป็นวงกลม และห่างจากจุดศูนย์กลางเป็นระยะทางเท่ากัน

รูปวงรี มีเส้นเส้นโค้งเป็นวงรี โดยห่างจากจุดศูนย์กลางไม่เท่ากัน

รูปทรง เรขาคณิตรูปทรงเรขาคณิต หมายถึง รูปที่มีส่วนที่เป็นพื้นผิว ส่วนสูง และส่วนลึก หรือหนา

รูปทรงกลม

รูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก

รูปทรงกระบอก

รูปเรขาคณิตสามมิติระดับชั้นมัธยมต้นนี้ นักเรียนควรมีพื้นฐานเกี่ยวกับ พื้นที่ผิวและปริมาตรที่ควรทราบ ดังนี้

ปริซึม

ปริซึม เป็นรูปเรขาคณิตสามมิติที่มีหน้าตัด(ฐาน) ทั้งสองข้างเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการหน้าตัด (ฐาน) ทั้งสองอยู่ในระนาบที่ขนานกัน มีหน้าข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก การเรียกชื่อปริซึมจะเรียกตามรูปหน้าตัดของปริซึมส่วนต่างๆของปริซึมมีชื่อเรียก ดังนี้

ทรงกระบอก

ทรงกระบอก เป็นรูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานสองฐานเป็นรูปวงกลมที่เท่ากันทุกประการและอยู่บนระนาบที่ขนานกัน และเมื่อตัดรูปเรขาคณิตสามมิตินั้นด้วยระนาบที่ขนานกับฐานแล้ว จะได้หน้าตัดเป็นวงกลมที่เท่ากันทุกประการกันฐานเสมอ ด้านข้างเป็นผิวเรียบโค้งส่วนต่างๆของทรงกระบอก
ข้อแตกต่างของปริซึมกับทรงกระบอก คือ
- ฐาน ปริซึมเป็นรูปหลายเหลี่ยมทรงกระบอกเป็นวงกลม- ด้านข้าง ปริซึมเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าทรงกระบอกเป็นผิวเรียบโค้ง

 พีระมิด

พีระมิด เป็นรูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานเป็นรูปเหลี่ยมใดๆ มียอดแหลมที่ไม่อยุ่บนระนาบเดียวกันกับฐาน และหน้าทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วมกันที่ยอดแหลมนั้น การเรียกชื่อพีระมิดจะเรียdตามรูปฐานของพีระมิด

กรวย
กรวย เป็นรูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานเป็นรูปวงกลม มียอดแหลมที่ไม่อยู่ในระนาบเดียวกันกับฐาน และเส้นที่ต่อระหว่างจุดยอดกับจุดใดๆ บนขอบของฐานเป็นส่วนของเส้นตรงดด้านข้างเป็นผิวโค้งเรียบระมิ
ส่วนต่างๆของกรวย
ข้อแตกต่างของพีระมิดกับกรวย คือ- ฐาน พีระมิดฐานรูปหลายเหลี่ยมกรวยฐานรูปวงกลม
- ด้านข้าง พีระมิดเป็นรูปสามเหลี่ยมผืนผ้า
กรวยเป็นผิวเรียบโค้ง



ทรงกลม

ทรงกลม เป็น รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีด้านข้างเป็นผิวโค้งเรียบ และจุดทุกจุดบนผิวโค้งอยู่ห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่งเป็นระยะเท่ากัน เรียกจุดคงที่ว่า จุดศูนย์กลางของทรงกลม
เรียกระยะที่เท่ากันว่า รัศมีของทรงกลม
ส่วนต่างๆของทรงกลม

 

ที่มา:http://math-tiger.blogspot.com/2010/05/blog-post.html



เทคนิคการบวกเลขเร็ว

เทคนิคการบวกเลขเร็ว

ที่เริ่มจาก 1

                ให้ใช้สูตร  [ (1 + ตัวท้าย) ตัวท้าย] หาร 2  = ผลลัพธ์
        หรือใช้สูตรโบราณว่า    "เอา  1  บวกเข้า    เอาเก่ามาคูณ   เอา 2 หารตัด  ขาดลงเป็นผลลัพธ์"
ตัวอย่าง เช่น
               บวกเลขเรียงจาก 1 ถึง 200
                 (1+200)*200   =20,100
                        2
            ดังนั้น  บวกเลขเรียงจาก 1 ถึง 200  =  20,100

ลองคิดดูเล่นๆ ค่ะ
1.  1 ถึง 10    =   ..................   (55)
2.  1 ถึง 80    =  ...................   (3,240)
3.  1 ถึง 500  =  ...................   (125,250) 

ที่ไม่เริ่มจาก 1

1. บวกเลขเรียงจาก 1 ถึงตัวท้ายโดยใช้สูตร    (1 + ตัวท้าย) ตัวท้าย 2  = ตัวตั้ง
2. บวกเลขเรียงจาก 1 ถึงตัวก่อนเริ่มใช้สูตร คือ (1 + ตัวก่อนเริ่ม) ตัวก่อนเริ่ม 2  = ตัวลบ
3. เอาผลลัพธ์ที่ได้จาก ข้อ 1 - 2 เป็นผลบวกเลขเรียงที่ไม่เริ่มต้นจาก 1
ตัวอย่าง เช่น
               บวกเลขเรียงจาก 9 ถึง 20
                     บวกเลขเรียงจาก 1 ถึง 20 ได้ 210 เป็นตัวตั้ง
                     บวกเลขเรียงจาก 1 ถึง 8   ได้   36 เป็นตัวลบ
            ดังนั้น  บวกเลขเรียงจาก 9 ถึง 20  =  210 - 36 =  174

ลองคิดดูเล่นๆ ค่ะ
1.  6 ถึง 10    =   ..................   (40)
2.  12 ถึง 30    =  ...................   (399)
3.  55 ถึง 80  =  ...................   (1,755)  

คี่จำนวน

 ให้หาตัวกลางของจำนวนที่บวกกันนั้น คูณกับจำนวนที่ให้บวกกันทั้งหมด
ตัวอย่าง เช่น
               97 + 98 + 99 + 100 + 101 =  .............................
               สังเกตพบว่่าจำนวนที่ให้บวกกันนั้นทั้งหมดมี 5 จำนวน และตัวกลางของจำนวนเหล่านี้คือ 99
               ให้เอา 5 99  =  495           
   ดังนั้น  97 + 98 + 99 + 100 + 101 =  495
ลองคิดดูเล่นๆ ค่ะ
1.  15 + 16 + 17    =   ..................   (48)
2.  125 + 126 + 127 + 128 129    =  ...................   (635)
3.  63 + 64 + 65 + 66 + 67 + 68 + 69 + 70 + 71  =  ...................   (603)

คู่จำนวน

ให้หาตัวกลางของจำนวนที่บวกกันนั้น คูณกับจำนวนที่ให้บวกกันทั้งหมด  ซึ่งตัวกลางมี 2 จำนวน ให้เอาตัวกลาง 2 จำนวนนั้นบวกกันแล้วเอา 2 หารได้ผลลัพธ์เท่าไร คูณกับจำนวนที่ให้บวกกันทั้งหมด ก็จะได้ผลลัพธ์ที่ถูกต้องและรวดเร็ว
ตัวอย่าง เช่น
               97 + 98 + 99 + 100 + 101+ 102  =  .............................
               สังเกตพบว่่าจำนวนที่ให้บวกกันนั้นทั้งหมดมี 6 จำนวน และตัวกลางของจำนวนเหล่านี้คือ (99 + 100) 2 = 99.5
               ให้เอา 6 99.5  =  597           
   ดังนั้น  97 + 98 + 99 + 100 + 101+ 102  =  597
ลองคิดดูเล่นๆ ค่ะ
1.  15 + 16 + 17 + 18    =   ..................   (66)
2.  125 + 126 + 127 + 128 129 + 130   =  ...................   (765)
3.  63 + 64 + 65 + 66 + 67 + 68 + 69 + 70 + 71+ 72  =  ...................   (675)

ที่มา : http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/lopburi/benja_j/easy_math/index.html

จัดทำโดยครูเบ็ญจ ใจการุณ โรงเรียนบ้านหลุมข้าว อำเภอโคกสำโรง จังหวัดลพบุรี 15120

(1+200)*200    =20,100
         2

ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

ประพจน์

                            ประพจน์(statement or proposition) คือ ประโยคที่บอกค่าความจริง

                        (truth value)ได้ว่าเป็นจริง (true) หรือ เท็จ (False) เพียงอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น

                  โดยทั่วไปจะใช้อักษรภาษาอังกฤษแทนประพจน์

      ตัวบ่งปริมาณ

                                     ในวิชาคณิตศาสตร์จะพบว่ามีการใช้ข้อความ สำหรับ x ทุกตัว และ สำหรับ x บางตัว

                                  เรียก " สำหรับ …ทุกตัว " และ " สำหรับ…บางตัว " ว่า " ตัวบ่งปริมาณ " แทนด้วย

                                                                      สัญลักษณ์   ,   ตามลำดับ                                         
                                           x  แทน สำหรับ x ทุกตัว
                                                                      x  แทน สำหรับ x บางตัว ( มีน้อยกว่า 1 )
                                                                           แทน เอกภพสัมพัทธ์                                               
                                                   R แทน เซตของจำนวนจริง

                                                           Q แทน เซตของจำนวนตรรกยะ

                                                                I  หรือ Z แทน เซตของจำนวนเต็ม

                                                    N แทน เซตของจำนวนนับ

          การเขียนสัญลักษณ์แทนประโยคเปิดที่มีตัวบ่งปริมาณ เราจะต้องเขียนกำกับไว้เสมอ

                      เพื่อจะได้ทราบขอบเขตของตัวแปรว่าแทนสิ่งใด  แต่ในกรณีที่เอกภพสัมพัทธ์เป็นเซตของจำนวนจริง                                         

      มักนิยมละการเขียนเอกภพสัมพัทธ์ นอกจากนี้ในการศึกษาเกี่ยวกับเซตนิยมละการเขียนเอกภพสัมพัทธ์เช่นเดียวกัน

    

ที่มาจาก : http://www.snr.ac.th/m4html/y4html/1.htm