ตัวหารร่วมมาก
ความหมาย
ตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม.) คือเลขจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากที่สุด ซึ่งเมื่อนำมาหารเลขจำนวนเต็มบวก อื่นๆ ที่กำหนดให้ทุกจำนวนแล้วปรากฎว่าหารลงตัวได้ทุกจำนวน
หลักการหาร ห.ร.ม.
สมมุติว่าเรามีตัวเลขจำนวนเต็มบวกสองตัว a และ b เราจะหาตัวหารร่วมได้อย่างไร
ถ้าสมมุติให้ d เป็นตัวหารร่วม d หาร a ได้ลงตัว
d หาร b ได้ลงตัว
ถ้าเขียนจำนวน a และ b ในรูปแบบเลขจำนวนเฉพาะ
a =
b =
เมื่อ d หาร a และ b ลงตัว เขียน d ในรูปแบบจำนวนเฉพาะ
d =
di <= bi
di <= min(ai, bi) หรืออาจกล่าวได้ว่า di น้อยกว่าค่าน้อยสุดระหว่าง ai, bi
แต่ถ้าจะให้เป็นตัวหารร่วมที่มากที่สุด (ห.ร.ม.) ค่า di จะต้องเท่ากับค่าน้อยที่สุดระหว่าง ai, bi
di = min(ai, bi)
การหาตัวหารร่วมมากมี 3 วิธี คือ การหา ห.ร.ม. โดยพิจารณาจากตัวประกอบ การแยก ตัวประกอบ และการหารสั้น
1. การหา ห.ร.ม. โดยพิจารณาตัวประกอบ
พิจารณาตัวประกอบของ 12 และ 18
ตัวประกอบร่วมของ 12 และ 18 ได้แก่ 1,2,3,6
- ตัวประกอบร่วมที่มากที่สุด ได้แก่ 6
- เรียกตัวประกอบร่วมที่มากที่สุดว่า ตัวหารร่วมมาก
- ดังนั้น 6 เป็นตัวหารร่วมมากของ 12 และ 18
- หรือ 6 เป็น ห.ร.ม. ของ 12 และ 18
ห.ร.ม. ของ 16 และ 36 พิจารณาได้ดังนี้
- ตัวประกอบของ 16 ได้แก่ 1 , 2 , 4 , 8 , 16
- ตัวประกอบของ 36 ได้แก่ 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 9 , 12 , 18 , 36
- ตัวประกอบร่วมของ 16 และ 36 ได้แก่ 1, 2, 4
- ตัวประกอบร่วมที่มากที่สุด ได้แก่ 4
- เรียกตัวประกอบร่วมที่มากที่สุดว่า ตัวหารร่วมมาก
- ดังนั้น 4 เป็นตัวหารร่วมมากของ 16 และ 36
- หรือ 4 เป็น ห.ร.ม. ของ 16 และ 36
ตัวอย่างที่ 1 จงหา ห.ร.ม. ของ 39 และ 65ถ้าสมมุติให้ d เป็นตัวหารร่วม d หาร a ได้ลงตัว
d หาร b ได้ลงตัว
ถ้าเขียนจำนวน a และ b ในรูปแบบเลขจำนวนเฉพาะ
a =
b =
เมื่อ d หาร a และ b ลงตัว เขียน d ในรูปแบบจำนวนเฉพาะ
d =
di <= bi
di <= min(ai, bi) หรืออาจกล่าวได้ว่า di น้อยกว่าค่าน้อยสุดระหว่าง ai, bi
แต่ถ้าจะให้เป็นตัวหารร่วมที่มากที่สุด (ห.ร.ม.) ค่า di จะต้องเท่ากับค่าน้อยที่สุดระหว่าง ai, bi
di = min(ai, bi)
การหาตัวหารร่วมมากมี 3 วิธี คือ การหา ห.ร.ม. โดยพิจารณาจากตัวประกอบ การแยก ตัวประกอบ และการหารสั้น
1. การหา ห.ร.ม. โดยพิจารณาตัวประกอบ
พิจารณาตัวประกอบของ 12 และ 18
ตัวประกอบร่วมของ 12 และ 18 ได้แก่ 1,2,3,6
- ตัวประกอบร่วมที่มากที่สุด ได้แก่ 6
- เรียกตัวประกอบร่วมที่มากที่สุดว่า ตัวหารร่วมมาก
- ดังนั้น 6 เป็นตัวหารร่วมมากของ 12 และ 18
- หรือ 6 เป็น ห.ร.ม. ของ 12 และ 18
ห.ร.ม. ของ 16 และ 36 พิจารณาได้ดังนี้
- ตัวประกอบของ 16 ได้แก่ 1 , 2 , 4 , 8 , 16
- ตัวประกอบของ 36 ได้แก่ 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 9 , 12 , 18 , 36
- ตัวประกอบร่วมของ 16 และ 36 ได้แก่ 1, 2, 4
- ตัวประกอบร่วมที่มากที่สุด ได้แก่ 4
- เรียกตัวประกอบร่วมที่มากที่สุดว่า ตัวหารร่วมมาก
- ดังนั้น 4 เป็นตัวหารร่วมมากของ 16 และ 36
- หรือ 4 เป็น ห.ร.ม. ของ 16 และ 36
วิธีทำ - ตัวประกอบของ 39 ได้แก่ 1 , 3 , 13 , 39
- ตัวประกอบของ 65 ได้แก่ 1 , 5 , 13 , 65
- ตัวประกอบร่วมของ 39 และ 65 ได้แก่ 1, 13
- ตัวประกอบร่วมที่มากที่สุดของ 39 และ 65 ได้แก่ 13
- ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 39 และ 65 คือ 13
ตัวอย่างที่ 2 จงหา ห.ร.ม. ของ 60, 78 และ 96
วิธีทำ - ตัวประกอบของ 60 ได้แก่ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 10 , 12 , 15 , 20 , 30 , 60
- ตัวประกอบของ 78 ได้แก่ 1 , 2 , 3 , 6 , 13 , 26 , 39 , 78
- ตัวประกอบของ 96 ได้แก่ 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 , 16 , 24 , 32 , 48 , 96
- ตัวประกอบร่วมของ 60, 78 และ 96 ได้แก่ 1, 2, 3, 6
- ตัวประกอบร่วมที่มากที่สุดของ 60, 78 และ 96 ได้แก่ 6
- ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 60, 78 และ 96 คือ 6
.
2. โดยการแยกตัวประกอบ มีวิธีการดังนี้
(1) แยกตัวประกอบของจำนวนทุกจำนวนที่ต้องการหาร ห.ร.ม.
(2) เลือกตัวประกอบที่ซ้ำกันของทุกจำนวนมาคูณกัน
(3) ห.ร.ม. คือ ผลคูณที่ได้
ตัวอย่าง จงหา ห.ร.ม. ของ 56 84 และ 140
วิธีทำ 56 =
84 =
104 =
เลือกตัวที่ซ้ำกัน ที่อยู่ทั้ง 56 84และ 104 ตัวทีซ้ำกันเอามาซ้ำละ 1 ตัว
คือ มีเลข 2 เลข 2 และ เลข 7
ดังนั้น ห.ร.ม. =
3. การหารสั้น มีวิธีการดังนี้
1) นำจำนวนทั้งหมดที่ต้องการหา ห.ร.ม. มาเขียนเรียงกัน
2) หาจำนวนเฉพาะที่สามารถหารจำนวนทั้งหมดได้ลงตัวมาหารไปเรื่อยๆ จนกว่าไม่สามารถหาได้
3) นำตัวหารทุกตัวที่ใช้มาคูณกัน เป็นค่าของ ห.ร.ม.
2. โดยการแยกตัวประกอบ มีวิธีการดังนี้
(1) แยกตัวประกอบของจำนวนทุกจำนวนที่ต้องการหาร ห.ร.ม.
(2) เลือกตัวประกอบที่ซ้ำกันของทุกจำนวนมาคูณกัน
(3) ห.ร.ม. คือ ผลคูณที่ได้
ตัวอย่าง จงหา ห.ร.ม. ของ 56 84 และ 140
วิธีทำ 56 =
84 =
104 =
เลือกตัวที่ซ้ำกัน ที่อยู่ทั้ง 56 84และ 104 ตัวทีซ้ำกันเอามาซ้ำละ 1 ตัว
คือ มีเลข 2 เลข 2 และ เลข 7
ดังนั้น ห.ร.ม. =
3. การหารสั้น มีวิธีการดังนี้
1) นำจำนวนทั้งหมดที่ต้องการหา ห.ร.ม. มาเขียนเรียงกัน
2) หาจำนวนเฉพาะที่สามารถหารจำนวนทั้งหมดได้ลงตัวมาหารไปเรื่อยๆ จนกว่าไม่สามารถหาได้
3) นำตัวหารทุกตัวที่ใช้มาคูณกัน เป็นค่าของ ห.ร.ม.
ตัวอย่าง จงหา ห.ร.ม. ของ 56 84 และ 140
วิธีทำ
2) 56 84 104 2) 28 42 70
7) 14 21 35 2 3 5
วิธีทำ
2) 56 84 104 2) 28 42 70
7) 14 21 35 2 3 5
ห.ร.ม. คือ 2 x 2 x 7 = 28
4. การนำ ห.ร.ม. ไปใช้แก้โจทย์ปัญหา
ตัวอย่าง มีเชือกอยู่สามเส้น ยาวเส้นละ 48, 60 และ 108 เมตร ถ้าตัดแบ่งให้ยาวเส้นละเท่าๆกัน ให้ยาวที่สุดเท่าที่จะยาวได้ จะได้เชือกยาวเส้นละกี่เมตร และได้เชือกทั้งหมดกี่เส้น
วิธีทำ 48 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3
60 = 2 x 2 x 3 x 5
108 = 2 x 2 x 3 x 3 x 3ห.ร.ม. คือ 2 x 2 x 3 หรือ 12ดังนั้น จะแบ่งเชือกได้ยาวที่สุดเส้นละ 12 เมตร เชือกเส้นแรกแบ่งได้ 48 / 12 = 4 เส้น
เชือกเส้นที่สองแบ่งได้ 60 / 12 = 5 เส้น
เชือกเส้นที่สามแบ่งได้ 108 / 12 = 9 เส้น
ดังนั้นจะได้เชือกทั้งหมด 4 + 5 + 9 = 18 เส้น
ตอบ จะได้เชือกยาวเส้นละ 12 เมตร และได้เชือกทั้งหมด 18 เส้น
ตัวอย่าง แม่ค้าต้องการจัดมะม่วง 4 ผล ชมพู่ 8 ผล พุทรา 12 ผล ใส่ถาดโดยให้แต่ละถาดมีผลไม้แต่ละชนิดมากที่สุดและไม่ปนกัน จะได้ผลไม้ถาดละกี่ผลและแบ่งได้กี่ถาดตัวอย่าง มีเชือกอยู่สามเส้น ยาวเส้นละ 48, 60 และ 108 เมตร ถ้าตัดแบ่งให้ยาวเส้นละเท่าๆกัน ให้ยาวที่สุดเท่าที่จะยาวได้ จะได้เชือกยาวเส้นละกี่เมตร และได้เชือกทั้งหมดกี่เส้น
วิธีทำ 48 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3
60 = 2 x 2 x 3 x 5
108 = 2 x 2 x 3 x 3 x 3ห.ร.ม. คือ 2 x 2 x 3 หรือ 12ดังนั้น จะแบ่งเชือกได้ยาวที่สุดเส้นละ 12 เมตร เชือกเส้นแรกแบ่งได้ 48 / 12 = 4 เส้น
เชือกเส้นที่สองแบ่งได้ 60 / 12 = 5 เส้น
เชือกเส้นที่สามแบ่งได้ 108 / 12 = 9 เส้น
ดังนั้นจะได้เชือกทั้งหมด 4 + 5 + 9 = 18 เส้น
ตอบ จะได้เชือกยาวเส้นละ 12 เมตร และได้เชือกทั้งหมด 18 เส้น
วิธีทำ มีมะม่วง 4 ผล ชมพู่ 8 ผล พุทรา 12 ผล ห.ร.ม. คือ 4, 8 และ12 คือ 4ดังนั้น แบ่งผลไม้ได้ถาดละ 4 ผล
จะแบ่งมะม่วงได้ 4 / 4 = 1 ถาด
จะแบ่งชมพู่ได้ 8 / 4 = 2 ถาด
จะแบ่งพุทราได้ 12 / 4 = 3 ถาด
ดังนั้น แบ่งผลไม้ได้ทั้งหมด 1+2+3 = 6 ถาด
ตอบ ได้ผลไม้ถาดละ 4 ผลและแบ่งได้ 6 ถาด
อัลกอริทึมของยูคลิด สำหรับการหา ห.ร.ม.
ยูคลิด เป็นนักคณิตศาสตร์สมัย 2 พันกว่าปีที่แล้ว ยูคลิดได้ให้วิธีการหา ห.ร.ม. จึงจัดว่าเป็นวิธีที่มีประสิทธิภาพสูงสุด และยอมรับกันมาจนปัจจุบัน การหา ห.ร.ม. โดยวิธีการหากำลังของเลขจำนวนเฉพาะ ดังที่กล่างมาแล้วเป็นวิธีที่ยาก ยูคลิดได้ให้หลักการเป็นทฤษฎีง่าย ๆ ว่า
"ตัวหารร่วมมากที่สุดของ a และ b ก็จะเป็นตัวหารร่วมมากที่สุดของ a + kb และ b
เมื่อ k เป็นเลขจำนวนเต็มใด ๆ"
ดังนั้นหากคิดในทางกลับกัน ตัวหารร่วมมากสุดของ kb + a และ b ก็จะเป็นตัวหารร่วมมากของ a และ b ด้วย
ตัวอย่าง
1. จากตัวเลข 8 12
(8, 12)
12 = 8 x 1 + 4
(8, 4)
8 = 4 x 2
4 คือตัวหารร่วมมากที่สุดของ 8 กับ 12
2. ตัวเลข 330, 140
(330, 140)
330 = 140 x 2 + 50
(140, 50)
140 = 50 x 2 + 40
(50,40)
50 = 40 x 1 + 10
(40,10)
40 = 10 x
10 เป็นตัวหารร่วมมากที่สุดของ 340, 140
จากหลักการของยูคลิดสรุปได้ว่า .....ตัวหารร่วมมากของ 40, 10 ก็จะเป็นตัวหารร่วมมากของ 50, 40 ด้วย และไล่เรียงขึ้นไปถึง 330, 140 นั่นเอง
ประโยชน์ของ ห.ร.ม.1. จากตัวเลข 8 12
(8, 12)
12 = 8 x 1 + 4
(8, 4)
8 = 4 x 2
4 คือตัวหารร่วมมากที่สุดของ 8 กับ 12
2. ตัวเลข 330, 140
(330, 140)
330 = 140 x 2 + 50
(140, 50)
140 = 50 x 2 + 40
(50,40)
50 = 40 x 1 + 10
(40,10)
40 = 10 x
10 เป็นตัวหารร่วมมากที่สุดของ 340, 140
จากหลักการของยูคลิดสรุปได้ว่า .....ตัวหารร่วมมากของ 40, 10 ก็จะเป็นตัวหารร่วมมากของ 50, 40 ด้วย และไล่เรียงขึ้นไปถึง 330, 140 นั่นเอง
1. ใช้ทอนเศษส่วนให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ
2. ใช้คำนวณการแบ่งสิ่งของที่มีจำนวนไม่เท่ากันออกเป็นส่วนๆ ที่เท่ากันโดยไม่ปะปนกัน
และให้เป็นจำนวนที่มากที่สุด
ที่มา : ศิริกานต์ ชูก้าน. ตัวหารร่วมมาก. ค้นข้อมูล 6 ธันวาคม 54 จาก http://www.krudung.com/webst/2552/501/34/a4.html
ตัวหารร่วมมาก. ค้นข้อมูล 6 ธันวาคม 54 จาก
